Для когось наступні рядки виявляться чимось дуже знайомим, для когось ще одною «єрундою» із математичного світу, а для когось, сподіваюсь, дадуть можливість подивитись на речі із іншого боку. Я намагався відступити від стандартних пояснень і зробити це зрозуміло. Вам судити, що із цього вийшло.

З чого усе починалось?

А для початку повернемося до історії математики і взагалі… Потреба рахувати виникла дуже давно. Рахували мамонтів, потім гроші, потім відсотки в банках… А потім математики зрозуміли, що рахувати можна і $x^2 + x$. Тоді в 19 столітті багато декому відомих, а декому ні математиків, серед яких варто відзначити Лагранжа, Абеля, Ейлера та Гауса та десятків інших, почали займатися дослідженням того, які математичні операції і над чим можна робити, а які ні.

Вони загальною працею сформували математичний апарат, який має назву «Теорія груп». Саме вона змогла пояснити такі начебто прості речі, як ділення та чому все ж таки на 0 ділити не можна.

Виявилося, що для початку ми можемо обрати будь-що над чим ми хочемо виконувати будь-які операції. Ми можемо розглядаємо числа, але так само можна розглядати повороти граней кубика-Рубіка або навіть звичайні стільці. Потім ми можемо обрати, яку операцію і як ми хочемо виконувати.

Фантазуємо

Наприклад числа можна додавати і ми всі знаємо, як це робити. Якщо в Андрія було 3 яблука, у Колі було два, то якщо їх викласти на стіл та порахуємо, скільки яблук лежить на столі, то ми встановимо, що сума такого «нашого додавання» буде дорівнювати 5 яблук. Ось ми вигадали операцію «додавання».

Тепер вигадаємо «додавання» поворотів кубика. Ми можемо повернути праву грань кубика за годинниковою стрілкою (R якщо зайти за посиланням то можна буде запустити анімацію та побачити відповідне перетворення на кубику). Можемо повернути верхню грань проти годинникової (U’) стрілки. Якщо ми «додамо» ці повороти, то отримаємо новий поворот: спочатку праву грань кубика з годинниковою стрілкою, а потім верхню грань проти годинникової (RU’).

А для стільців додавання можна позначити наступним чином. Ми можемо розібрати стільці на деталі та зробити із них стіл.

Все правильно зробив!

Якщо із числами все більш менш зрозуміло, з поворотами кубика, можна повірити. Але стільці, які відношення до математики, тоді мають вони? Такі ж питання виникали і в 19 столітті, тому довелося навчитися перевіряти операції на коректність.

Першим, що важливо зробити поставити чіткі межі на елементи над якими ми хочемо виконувати операції, іншими словами ми маємо скласти повний перелік елементів (прийнято називати множиною елементів), над якими ми можемо виконати операцію. Наприклад додавання ми будемо виконувати над усіма числами: $100, -1.3, \pi$. Операції з’єднання поворотів ми будемо виконувати над будь-якими поворотами кубика: R, U’… До переліку стільців візьмемо лише дерев’яні з зеленою, жовтою оббивкою.

По-друге, якщо ми до чогось додаємо щось, то було б добре отримати у результаті щось схоже. Неможливо щось рахувати, якщо $2 яблука + 3 яблука = дерево$, а $5 картошин * 6 = пюре$. Тому першим, що почали вимагати від операції — це була «замкненість». Тобто, якщо до елементу нашого списку ми додаємо інший елемент списку , то результатом теж має бути елемент нашого списку. Можна перевірити, що $2 + 3 = 5$, що 2,3 і 5 — це числа і всі вони належать до нашого списку чисел. Для поворотів кубика-Рубіка. Якщо до повороту R додати поворот U’, то ми отримаємо теж поворот RU’. Зі стільцями така властивість вже не виконується, бо стіл не належить до нашого переліку стільців із зеленою та жовтою оббивкою.

Третім ми перевіряємо, чи залежить результат від порядку виконання операцій. Наприклад чи однакові будуть результати $(2+3) + 5$ та $2 + (3 + 5)$. Така властивість називається асоціативність. Для звичних нам чисел вона очевидно виконується. Для поєднань поворотів кубика ця властивість теж виконається (R U’) R’ = R U’ R’ = R (U’ R’).

Стає гарячіше

А тепер найцікавіше, серед всіх елементів нашого переліку шукають особливий, який називають нейтральним. Наприклад для додавання чисел особливим буде 0, бо до якого б числа ми його не додавали все рівно результатом буде те число. $1 + 0 = 1$, $0 + 4 = 4$ і так далі. Для поворотів куби-Рубіка це буде відсутність повороту (E). Якщо спочатку повернути праву грань за годинниковою стрілкою (R) а потім не зробити нічого (E), то поєднавши ці операції ми отримаємо просто поворот грані (R).

Після того, як ми знайшли особливий елемент. Ми для кожного елементу нашого списку починаємо шукати братів (в математиці такі елементи називають оберненими). Братом елемента А називається такий елемент Б, що їхня сума дорівнює особливому елементові. $5 + (-5) = 0$. У п’ятірки елементом братом буде $-5$. А у $-5$ елементом братом буде $5$. Таким чином елемент брат є у кожного. Такі ж елементи брати є у кожного повороту кубика-Рубіка. Наприклад у RU’ братом буде UR’, бо RU’UR’ = E.

Якщо всі наведені умови виконуються, то обрана операція над обраними елементами є коректною. Множина таких елементів разом із операцією називається групою. В математиці — це дуже зручний інструмент. Для груп доведено багато властивостей, які виконуються для всіх груп. І якщо для довільної операції на довільній множині ми змогли утворити групу, то всі властивості теорії груп можна буде застосувати до нашої власної операції.

І що?

Так гарно побудувати групи виходить, на жаль, не для всіх переліків елементів. Навіть у звичайного множення є суттєва проблема. Множення чисел саме по собі не є групою. При множенні особливим елементом мала б стати одиниця $1$, оскільки $1 * 5 = 5$, а $4 * 1 = 4$. Було б дуже легко знаходити братів $5 * \frac{1}{5} = 1$. Але легко було б знайти братів у всіх чисел окрім $0$. Чому? А ви спробуєте 0 помножити на якесь число, щоб отримати одиницю. В мене теж не вийшло, тому множення чисел не буде групою.

Не могли ж математики залишити таке допустити? Для того, щоб такого неподобства не було були вигадані кільця та поля, де розглядають множення у парі із додаванням і серед всього іншого кажуть, що множення може утворити групу серед усього списку елементів, але за умови, що ми викреслимо із нього особливий елемент для додавання. Тобто, якщо ми заберемо із переліку чисел нуль, то всі ніші елементи зможуть утворити групу відносно множення. Все стає добре. З цим якось вже можна жити, але у $0$ все рівно немає брата відносно множення.

Руйнуємо стереотипи

Немає такої операції в математиці як ділення. Так само як і немає такої операції як віднімання. $2 – 5$ означає, що для 5 ми шукаємо брата відносно додавання і додаємо його до двійки. $2 – 5 = 2 + (-5)$. Так само і з діленням $4 \div 5$ спочатку ми шукаємо брата відносно множення для $5$, а це $\frac{1}{5}$ а потім множимо на нього $4 * \frac{1}{5}$. З нулем, як ви бачите, проблема полягає в тому, що він не має такого брата. Саме через це операція ділення не має сенсу.

Як ми бачимо 0 був на крок від того, щоб зіпсувати усю математику. Але сьогодні йому це зробити не вдалося. І тепер, коли буде спокуса ділити на 0, згадайте, що в нього немає брата його краще не чіпати. А ділити краще на 42. Число відоме і брата має.

P.S. Якщо ви змогли дочитати до кінця, то я можу вас привітати! Навіть, якщо ви нічого не зрозуміли це все рівно дуже хороший результат. Я думаю у Вас у будь-якому випадку залишились питання, на які я із задоволенням відповім у коментарях.

Все почалося з одної лекції математичного аналізу, коли, пояснюючи ряди, викладач Захарійченко Юрій Олексійович розповів аудиторії концепцію торту, яким можна нагодувати усіх охочих. Усе було просто. Перша людина відріже собі половину торту і з’їсть її. Наступний охочий з’їсть ще половину від того, що залишилось і так далі.

Начебто все просто: коли ми відріжемо половину завжди залишається інша половина, тобто цілий торт ми ніколи не з’їмо, оскільки завжди від нього щось залишатиметься. В математиці все дуже гарно, а насправді не зовсім так. Можемо одразу знехтувати нерівномірним розподілом шматками між охочими, оскільки наша задача була дати скуштувати торт усім. Ну ми ж не казали, що усім дістанеться порівну.

І так на вечірку ми запросили 100 друзів і, користуючись концепцією, придбали один Київський торт. Коли прийшли усі гості, то вони висловили бажання скуштувати торт. Ми почали ділити його за нашим принципом. Собі половину, 1-ому гостеві четверту частину…

Наскільки дрібно ми поділимо? Правильна відповідь: надзвичайно дрібно!

Перед тим, як ділити далі я б хотів би порахувати скільки атомів буде знаходитись в одному Київському торті. Мої знання з хімії не надзвичайні, тому буду радий, якщо ви повідомите мене про помилки в хімічних розрахунках.

І так торт має вагу $1кг = 1000г$. Він переважно складається із органічних речовин, де переважають атоми C,H,O,N. Для того, щоб знайти кількість атомів необхідно згадати, що таке моль, молярна маса та число Авогадро. Оскільки атоми C, O, N мають майже однакові молярні маси ($12 г/моль$, $14 г/моль$ і $16 г/моль$ відповідно), то для спрощення припустимо, що торт складається лише з атомів Оксигену (O) молярна маса яких: $16 г/моль$. Тоді можемо знайти скільки моль Оксигену знаходиться у торті.

$\frac{1000г}{16\frac{г}{моль}} = 1000г * \frac{1}{16}\frac{моль}{г} = 62,5 моль$

Знаючи число Авогадро, ми тепер впевнено можемо знайти приблизну кількість атомів у Київському торті.

$62,5 моль * N_A=62,5 моль * 6.02214129 \cdot 10^{23}\frac{1}{моль}= 3,76383830625 \cdot 10^{25}$ атомів.

Тепер ми знаємо, що собі від торту ми відріжемо $1,881919153125 \cdot 10^{25}$ атомів Київського торту. Першому нашому гостю ми вже дамо $0,9409595765625 \cdot 10^{25}$ атомів Київського торту.

Добре! Ми знаємо, скільки атомів в торті, але як дізнатися скільки раз ми зможемо проробити таку операцію, до тих пір поки в нас не залишиться лише один атом? Відповідь дуже проста: на це питання краще всього вміє відповідає логарифм. Уявити це дуже просто. Ми можемо припустити, що ми ділили, ділили торт і в нас залишився лише один атом. Тоді попередня людина отримала вдвічі більший шматок торту — 2 атоми = $2^1$. Людина, що брала шматок перед нею — 4 атоми = $2^2$. Таку операцію ми проробимо до тих пір поки не отримаємо початкову кількість атомів, а це буде $2^n$ де $n$ це якраз та кількість людей, яка скуштувала торт. Логарифм — це якраз та операція яка дозволяє знайти це $n$, а саме, якщо $2^n = кількість\underline{ }атомів$, тоді $\log_2{кількість\underline{ }атомів} = n$. А це якраз те, що ми хочемо знайти.

$\log_2{3,76383830625 \cdot 10^{25}} \approx 85$

Хоча це дуже дивно, але ми бачимо, що вже 85 людина від нашого торту отримає лише 1 атом! Уважний читач зауважить, що атом має електрони, протони та нейтрони. Їх в атомі Оксигену буде 24 (8 електронів, 8 протонів та 8 нейтронів). Але це суттєво нічого не змінить. Ми зможемо відрізати шматки ще 5 гостям. А що далі? 10 наших друзів підуть додому засмученими чи якимось чином можна ділити примітивні частинки далі? З математичної точки зору ділити далі можна, але з практичної вже досить проблематично. Можна припустити, що ми можемо ділити далі і далі, але будь-яка теорія має свої найменші частинки.

Давайте подивимося на задачу із іншого боку. Нехай наш торт буде розміром із видимий всесвіт. Варто зазначити, що відстань від землі до краю всесвіту приблизно складає 46,5 млрд. світлових років. За підрахунками вчених кількість атомів в нашому всесвіті складає $10^{80}$. Порахуємо тепер скільки гостей ми зможемо нагодувати.

$\log_2{10^{80}} \approx 266$

Як ми бачимо, ми нагодуємо лише 266 людей. Що можна сказати тепер. Математична модель дуже гарна, але навряд у всесвіті існує щось, що можна поділити так, щоб нагодувати хоча б жителів Києва.

Ця стаття — це ще один приклад того наскільки незвично може поводити себе Степінь. У попередній статті про Шахи та зерна вона робила, щось надзвичайно велике, а зараз працює в мікроскопічному світі. Можна сказати, що наш всесвіт занадто малий, щоб ми могли «використовувати степінь на повну потужність». А ще торт надійніше ділити порівну, бо інакше всім може не вистачити.

В перше цю легенду я побачив в чудовій книзі «Занимательная математика». Так ось колись, дуже-дуже давно в Індії один мудрець вигадав гру в шахи. Одного дня він прийшов до палацу і показав цю чудову гру своєму правителю. Правителю ця гра на стільки сподобалася, що він погодився виконати будь-яке прохання мудреця. Мудрець, не довго думаючи, попросив у правителя всього-на-всього декілька зернинок на кожну шахову клітинку. А саме на першу покласти одну зернинку, на другу — дві, на третю — 4, на п’яту 8 і так далі збільшуючи кожен раз кількість зернят вдвічі… Правитель зрадів, що мудрець попросив на стільки мало і сказав прийти йому через тиждень забрати своє зерно.

Чи багато попросив мудрець у правителя? Правильно відповідь — надзвичайно багато!!! У більшості людей виникне логічне питання ЧОМУ?. Давайте разом спробуємо розібратися чому це так.

Кмітливий читач помітив, що на кожній клітинці шахівниці зернят буде 2 у якійсь степені. Наприклад на першій клітинці $2^0 = 1$ на другій $2^1 = 2$ на третій $2^2=4$ на третій $2^3=8$ і так далі. Коли я вперше побачив цю легенду, мені стало дуже цікаво і я вирішив порахувати на звичайному калькуляторі скільки всього зернинок було на шахівниці. Дорахувати мені вдалося десь до 15 клітинки, а потім рахувати стало важко, тому я перестав.

Сьогодні ж я пропоную порахувати нам разом, скільки ж зернинок за угодою мав би правитель подарувати мудрецеві. Для цього скористаємось набагато кращим калькулятором. Нагадаю, що шахівниця має 8 клітинок у ширину та 8 клітинок у висоту, тому всього клітинок $8*8=64$

Розрахуємо деякі кількості зернят на деяких клітинках:

• на 11-тій клітинці — $2^{10} = 1,024$ зернят
• на 31-тій клітинці — $2^{30} = 1,073,741,824$ зернят
• на 51-тій клітинці — $2^{50} = 1,125,899,906,842,624$ зернят
• на 64-тій клітинці — $2^{63} = 9,223,372,036,854,775,808$ зернят

Тепер залишилося порахувати суму зернят на всій шахівниці і це буде дорівнювати:

$2^0+2^1+2^2 + \dots +2^{62}+2^{63} = \sum_{i=0}^{63}2^i = 18,446,744,073,709,551,615$

і це всього вдвічі більше ніж на останній клітинці. Уявити таке число звичайній людині дуже важко. В книзі «Занимательная математика» проводились розрахунки в результаті яких вийшло, що для того, щоб вмістити такий об’єм зерна треба приміщення з такою довжиною, що воно три рази обернеться навколо земної кулі.

Я пропоную провести свої розрахунки, щоб оцінити це число. Мені особисто важко уявляти розмір зерна, тому уявимо, що мудрець попросив у правителя на першу клітинку поставити $1см^2$ землі, тоді:

$18,446,744,073,709,551,615 см^2 = 1,844,674,407,370,955м^2 = 1,844,674,407км^2$

Тобто $1844 млн. км^2$. Якщо врахувати той факт, що площа земної кулі складає приблизно $510 млн. км^2$, то правитель залишився винним мудрецеві трохи більше ніж $3$ земних кулі.

Степінь зіграла дуже злий жарт із правителем. Найгірше — це те, що степінь продовжує грати злі жарти з нами і до сьогодні. Через це я вирішив написати декілька статей, де на прикладах покажу, на скільки небезпечно недооцінювати степінь, а також розкажу, як цю силу можна змусити працювати нам на користь.