Все почалося з одної лекції математичного аналізу, коли, пояснюючи ряди, викладач Захарійченко Юрій Олексійович розповів аудиторії концепцію торту, яким можна нагодувати усіх охочих. Усе було просто. Перша людина відріже собі половину торту і з’їсть її. Наступний охочий з’їсть ще половину від того, що залишилось і так далі.

Начебто все просто: коли ми відріжемо половину завжди залишається інша половина, тобто цілий торт ми ніколи не з’їмо, оскільки завжди від нього щось залишатиметься. В математиці все дуже гарно, а насправді не зовсім так. Можемо одразу знехтувати нерівномірним розподілом шматками між охочими, оскільки наша задача була дати скуштувати торт усім. Ну ми ж не казали, що усім дістанеться порівну.

І так на вечірку ми запросили 100 друзів і, користуючись концепцією, придбали один Київський торт. Коли прийшли усі гості, то вони висловили бажання скуштувати торт. Ми почали ділити його за нашим принципом. Собі половину, 1-ому гостеві четверту частину…

Наскільки дрібно ми поділимо? Правильна відповідь: надзвичайно дрібно!

Перед тим, як ділити далі я б хотів би порахувати скільки атомів буде знаходитись в одному Київському торті. Мої знання з хімії не надзвичайні, тому буду радий, якщо ви повідомите мене про помилки в хімічних розрахунках.

І так торт має вагу $1кг = 1000г$. Він переважно складається із органічних речовин, де переважають атоми C,H,O,N. Для того, щоб знайти кількість атомів необхідно згадати, що таке моль, молярна маса та число Авогадро. Оскільки атоми C, O, N мають майже однакові молярні маси ($12 г/моль$, $14 г/моль$ і $16 г/моль$ відповідно), то для спрощення припустимо, що торт складається лише з атомів Оксигену (O) молярна маса яких: $16 г/моль$. Тоді можемо знайти скільки моль Оксигену знаходиться у торті.

$\frac{1000г}{16\frac{г}{моль}} = 1000г * \frac{1}{16}\frac{моль}{г} = 62,5 моль$

Знаючи число Авогадро, ми тепер впевнено можемо знайти приблизну кількість атомів у Київському торті.

$62,5 моль * N_A=62,5 моль * 6.02214129 \cdot 10^{23}\frac{1}{моль}= 3,76383830625 \cdot 10^{25}$ атомів.

Тепер ми знаємо, що собі від торту ми відріжемо $1,881919153125 \cdot 10^{25}$ атомів Київського торту. Першому нашому гостю ми вже дамо $0,9409595765625 \cdot 10^{25}$ атомів Київського торту.

Добре! Ми знаємо, скільки атомів в торті, але як дізнатися скільки раз ми зможемо проробити таку операцію, до тих пір поки в нас не залишиться лише один атом? Відповідь дуже проста: на це питання краще всього вміє відповідає логарифм. Уявити це дуже просто. Ми можемо припустити, що ми ділили, ділили торт і в нас залишився лише один атом. Тоді попередня людина отримала вдвічі більший шматок торту — 2 атоми = $2^1$. Людина, що брала шматок перед нею — 4 атоми = $2^2$. Таку операцію ми проробимо до тих пір поки не отримаємо початкову кількість атомів, а це буде $2^n$ де $n$ це якраз та кількість людей, яка скуштувала торт. Логарифм — це якраз та операція яка дозволяє знайти це $n$, а саме, якщо $2^n = кількість\underline{ }атомів$, тоді $\log_2{кількість\underline{ }атомів} = n$. А це якраз те, що ми хочемо знайти.

$\log_2{3,76383830625 \cdot 10^{25}} \approx 85$

Хоча це дуже дивно, але ми бачимо, що вже 85 людина від нашого торту отримає лише 1 атом! Уважний читач зауважить, що атом має електрони, протони та нейтрони. Їх в атомі Оксигену буде 24 (8 електронів, 8 протонів та 8 нейтронів). Але це суттєво нічого не змінить. Ми зможемо відрізати шматки ще 5 гостям. А що далі? 10 наших друзів підуть додому засмученими чи якимось чином можна ділити примітивні частинки далі? З математичної точки зору ділити далі можна, але з практичної вже досить проблематично. Можна припустити, що ми можемо ділити далі і далі, але будь-яка теорія має свої найменші частинки.

Давайте подивимося на задачу із іншого боку. Нехай наш торт буде розміром із видимий всесвіт. Варто зазначити, що відстань від землі до краю всесвіту приблизно складає 46,5 млрд. світлових років. За підрахунками вчених кількість атомів в нашому всесвіті складає $10^{80}$. Порахуємо тепер скільки гостей ми зможемо нагодувати.

$\log_2{10^{80}} \approx 266$

Як ми бачимо, ми нагодуємо лише 266 людей. Що можна сказати тепер. Математична модель дуже гарна, але навряд у всесвіті існує щось, що можна поділити так, щоб нагодувати хоча б жителів Києва.

Ця стаття — це ще один приклад того наскільки незвично може поводити себе Степінь. У попередній статті про Шахи та зерна вона робила, щось надзвичайно велике, а зараз працює в мікроскопічному світі. Можна сказати, що наш всесвіт занадто малий, щоб ми могли «використовувати степінь на повну потужність». А ще торт надійніше ділити порівну, бо інакше всім може не вистачити.

В перше цю легенду я побачив в чудовій книзі «Занимательная математика». Так ось колись, дуже-дуже давно в Індії один мудрець вигадав гру в шахи. Одного дня він прийшов до палацу і показав цю чудову гру своєму правителю. Правителю ця гра на стільки сподобалася, що він погодився виконати будь-яке прохання мудреця. Мудрець, не довго думаючи, попросив у правителя всього-на-всього декілька зернинок на кожну шахову клітинку. А саме на першу покласти одну зернинку, на другу — дві, на третю — 4, на п’яту 8 і так далі збільшуючи кожен раз кількість зернят вдвічі… Правитель зрадів, що мудрець попросив на стільки мало і сказав прийти йому через тиждень забрати своє зерно.

Чи багато попросив мудрець у правителя? Правильно відповідь — надзвичайно багато!!! У більшості людей виникне логічне питання ЧОМУ?. Давайте разом спробуємо розібратися чому це так.

Кмітливий читач помітив, що на кожній клітинці шахівниці зернят буде 2 у якійсь степені. Наприклад на першій клітинці $2^0 = 1$ на другій $2^1 = 2$ на третій $2^2=4$ на третій $2^3=8$ і так далі. Коли я вперше побачив цю легенду, мені стало дуже цікаво і я вирішив порахувати на звичайному калькуляторі скільки всього зернинок було на шахівниці. Дорахувати мені вдалося десь до 15 клітинки, а потім рахувати стало важко, тому я перестав.

Сьогодні ж я пропоную порахувати нам разом, скільки ж зернинок за угодою мав би правитель подарувати мудрецеві. Для цього скористаємось набагато кращим калькулятором. Нагадаю, що шахівниця має 8 клітинок у ширину та 8 клітинок у висоту, тому всього клітинок $8*8=64$

Розрахуємо деякі кількості зернят на деяких клітинках:

• на 11-тій клітинці — $2^{10} = 1,024$ зернят
• на 31-тій клітинці — $2^{30} = 1,073,741,824$ зернят
• на 51-тій клітинці — $2^{50} = 1,125,899,906,842,624$ зернят
• на 64-тій клітинці — $2^{63} = 9,223,372,036,854,775,808$ зернят

Тепер залишилося порахувати суму зернят на всій шахівниці і це буде дорівнювати:

$2^0+2^1+2^2 + \dots +2^{62}+2^{63} = \sum_{i=0}^{63}2^i = 18,446,744,073,709,551,615$

і це всього вдвічі більше ніж на останній клітинці. Уявити таке число звичайній людині дуже важко. В книзі «Занимательная математика» проводились розрахунки в результаті яких вийшло, що для того, щоб вмістити такий об’єм зерна треба приміщення з такою довжиною, що воно три рази обернеться навколо земної кулі.

Я пропоную провести свої розрахунки, щоб оцінити це число. Мені особисто важко уявляти розмір зерна, тому уявимо, що мудрець попросив у правителя на першу клітинку поставити $1см^2$ землі, тоді:

$18,446,744,073,709,551,615 см^2 = 1,844,674,407,370,955м^2 = 1,844,674,407км^2$

Тобто $1844 млн. км^2$. Якщо врахувати той факт, що площа земної кулі складає приблизно $510 млн. км^2$, то правитель залишився винним мудрецеві трохи більше ніж $3$ земних кулі.

Степінь зіграла дуже злий жарт із правителем. Найгірше — це те, що степінь продовжує грати злі жарти з нами і до сьогодні. Через це я вирішив написати декілька статей, де на прикладах покажу, на скільки небезпечно недооцінювати степінь, а також розкажу, як цю силу можна змусити працювати нам на користь.