Шахівниця та зернятка

Що може бути спільного між шахівницею та зерном? На перший погляд — нічого. Але, якщо згадати легенду про виникнення шахів, то зв’язок стає вже на багато цікавішим.

В перше цю легенду я побачив в чудовій книзі «Занимательная математика». Так ось колись, дуже-дуже давно в Індії один мудрець вигадав гру в шахи. Одного дня він прийшов до палацу і показав цю чудову гру своєму правителю. Правителю ця гра на стільки сподобалася, що він погодився виконати будь-яке прохання мудреця. Мудрець, не довго думаючи, попросив у правителя всього-на-всього декілька зернинок на кожну шахову клітинку. А саме на першу покласти одну зернинку, на другу — дві, на третю — 4, на п’яту 8 і так далі збільшуючи кожен раз кількість зернят вдвічі… Правитель зрадів, що мудрець попросив на стільки мало і сказав прийти йому через тиждень забрати своє зерно.

Чи багато попросив мудрець у правителя? Правильно відповідь — надзвичайно багато!!! У більшості людей виникне логічне питання ЧОМУ?. Давайте разом спробуємо розібратися чому це так.

Кмітливий читач помітив, що на кожній клітинці шахівниці зернят буде 2 у якійсь степені. Наприклад на першій клітинці $2^0 = 1$ на другій $2^1 = 2$ на третій $2^2=4$ на третій $2^3=8$ і так далі. Коли я вперше побачив цю легенду, мені стало дуже цікаво і я вирішив порахувати на звичайному калькуляторі скільки всього зернинок було на шахівниці. Дорахувати мені вдалося десь до 15 клітинки, а потім рахувати стало важко, тому я перестав.

Сьогодні ж я пропоную порахувати нам разом, скільки ж зернинок за угодою мав би правитель подарувати мудрецеві. Для цього скористаємось набагато кращим калькулятором. Нагадаю, що шахівниця має 8 клітинок у ширину та 8 клітинок у висоту, тому всього клітинок $8*8=64$

Розрахуємо деякі кількості зернят на деяких клітинках:

• на 11-тій клітинці — $2^{10} = 1,024$ зернят
• на 31-тій клітинці — $2^{30} = 1,073,741,824$ зернят
• на 51-тій клітинці — $2^{50} = 1,125,899,906,842,624$ зернят
• на 64-тій клітинці — $2^{63} = 9,223,372,036,854,775,808$ зернят

Тепер залишилося порахувати суму зернят на всій шахівниці і це буде дорівнювати:

$2^0+2^1+2^2 + \dots +2^{62}+2^{63} = \sum_{i=0}^{63}2^i = 18,446,744,073,709,551,615$

і це всього вдвічі більше ніж на останній клітинці. Уявити таке число звичайній людині дуже важко. В книзі «Занимательная математика» проводились розрахунки в результаті яких вийшло, що для того, щоб вмістити такий об’єм зерна треба приміщення з такою довжиною, що воно три рази обернеться навколо земної кулі.

Я пропоную провести свої розрахунки, щоб оцінити це число. Мені особисто важко уявляти розмір зерна, тому уявимо, що мудрець попросив у правителя на першу клітинку поставити $1см^2$ землі, тоді:

$18,446,744,073,709,551,615 см^2 = 1,844,674,407,370,955м^2 = 1,844,674,407км^2$

Тобто $1844 млн. км^2$. Якщо врахувати той факт, що площа земної кулі складає приблизно $510 млн. км^2$, то правитель залишився винним мудрецеві трохи більше ніж $3$ земних кулі.

Степінь зіграла дуже злий жарт із правителем. Найгірше — це те, що степінь продовжує грати злі жарти з нами і до сьогодні. Через це я вирішив написати декілька статей, де на прикладах покажу, на скільки небезпечно недооцінювати степінь, а також розкажу, як цю силу можна змусити працювати нам на користь.