
Шахівниця та зернятка
Що може бути спільного між шахівницею та зерном? На перший погляд — нічого. Але, якщо згадати легенду про виникнення шахів, то зв’язок стає вже на багато цікавішим.
В перше цю легенду я побачив в чудовій книзі «Занимательная математика». Так ось колись, дуже-дуже давно в Індії один мудрець вигадав гру в шахи. Одного дня він прийшов до палацу і показав цю чудову гру своєму правителю. Правителю ця гра на стільки сподобалася, що він погодився виконати будь-яке прохання мудреця. Мудрець, не довго думаючи, попросив у правителя всього-на-всього декілька зернинок на кожну шахову клітинку. А саме на першу покласти одну зернинку, на другу — дві, на третю — 4, на п’яту 8 і так далі збільшуючи кожен раз кількість зернят вдвічі… Правитель зрадів, що мудрець попросив на стільки мало і сказав прийти йому через тиждень забрати своє зерно.
Чи багато попросив мудрець у правителя? Правильно відповідь — надзвичайно багато!!! У більшості людей виникне логічне питання ЧОМУ?. Давайте разом спробуємо розібратися чому це так.
Кмітливий читач помітив, що на кожній клітинці шахівниці зернят буде 2 у якійсь степені. Наприклад на першій клітинці 20=1
Сьогодні ж я пропоную порахувати нам разом, скільки ж зернинок за угодою мав би правитель подарувати мудрецеві. Для цього скористаємось набагато кращим калькулятором. Нагадаю, що шахівниця має 8 клітинок у ширину та 8 клітинок у висоту, тому всього клітинок 8∗8=64
Розрахуємо деякі кількості зернят на деяких клітинках:
- на 11-тій клітинці — 210=1,024зернят
- на 31-тій клітинці — 230=1,073,741,824зернят
- на 51-тій клітинці — 250=1,125,899,906,842,624зернят
- на 64-тій клітинці — 263=9,223,372,036,854,775,808зернят
Тепер залишилося порахувати суму зернят на всій шахівниці і це буде дорівнювати:
20+21+22+⋯+262+263=63∑i=02i=18,446,744,073,709,551,615
і це всього вдвічі більше ніж на останній клітинці. Уявити таке число звичайній людині дуже важко. В книзі «Занимательная математика» проводились розрахунки в результаті яких вийшло, що для того, щоб вмістити такий об’єм зерна треба приміщення з такою довжиною, що воно три рази обернеться навколо земної кулі.
Я пропоную провести свої розрахунки, щоб оцінити це число. Мені особисто важко уявляти розмір зерна, тому уявимо, що мудрець попросив у правителя на першу клітинку поставити 1см2
18,446,744,073,709,551,615см2=1,844,674,407,370,955м2=1,844,674,407км2
Тобто 1844млн.км2
Степінь
зіграла дуже злий жарт із правителем. Найгірше — це те, що степінь продовжує грати злі жарти з нами і до сьогодні. Через це я вирішив написати декілька статей, де на прикладах покажу, на скільки небезпечно недооцінювати степінь, а також розкажу, як цю силу можна змусити працювати нам на користь.