У багатьох після заборони ділити на нуль виникає дуже велика підозра до математики взагалі. Чому всі стверджують, що цього робити не можна? А що буде, якщо поділити на нього? Хтось продовжує ділити і не зважати на інших? Дехто так і не зрозумів, чому корінь із від’ємного числа існує, а одиниця на нуль не ділиться? Можливо прийшов час розставити усі крапки навколо нуля?

Для когось наступні рядки виявляться чимось дуже знайомим, для когось ще одною «єрундою» із математичного світу, а для когось, сподіваюсь, дадуть можливість подивитись на речі із іншого боку. Я намагався відступити від стандартних пояснень і зробити це зрозуміло. Вам судити, що із цього вийшло.

З чого усе починалось?

А для початку повернемося до історії математики і взагалі… Потреба рахувати виникла дуже давно. Рахували мамонтів, потім гроші, потім відсотки в банках… А потім математики зрозуміли, що рахувати можна і $x^2 + x$. Тоді в 19 столітті багато декому відомих, а декому ні математиків, серед яких варто відзначити Лагранжа, Абеля, Ейлера та Гауса та десятків інших, почали займатися дослідженням того, які математичні операції і над чим можна робити, а які ні.

Вони загальною працею сформували математичний апарат, який має назву «Теорія груп». Саме вона змогла пояснити такі начебто прості речі, як ділення та чому все ж таки на 0 ділити не можна.

Виявилося, що для початку ми можемо обрати будь-що над чим ми хочемо виконувати будь-які операції. Ми можемо розглядаємо числа, але так само можна розглядати повороти граней кубика-Рубіка або навіть звичайні стільці. Потім ми можемо обрати, яку операцію і як ми хочемо виконувати.

Фантазуємо

Наприклад числа можна додавати і ми всі знаємо, як це робити. Якщо в Андрія було 3 яблука, у Колі було два, то якщо їх викласти на стіл та порахуємо, скільки яблук лежить на столі, то ми встановимо, що сума такого «нашого додавання» буде дорівнювати 5 яблук. Ось ми вигадали операцію «додавання».

Тепер вигадаємо «додавання» поворотів кубика. Ми можемо повернути праву грань кубика за годинниковою стрілкою (R якщо зайти за посиланням то можна буде запустити анімацію та побачити відповідне перетворення на кубику). Можемо повернути верхню грань проти годинникової (U’) стрілки. Якщо ми «додамо» ці повороти, то отримаємо новий поворот: спочатку праву грань кубика з годинниковою стрілкою, а потім верхню грань проти годинникової (RU’).

А для стільців додавання можна позначити наступним чином. Ми можемо розібрати стільці на деталі та зробити із них стіл.

Все правильно зробив!

Якщо із числами все більш менш зрозуміло, з поворотами кубика, можна повірити. Але стільці, які відношення до математики, тоді мають вони? Такі ж питання виникали і в 19 столітті, тому довелося навчитися перевіряти операції на коректність.

Першим, що важливо зробити поставити чіткі межі на елементи над якими ми хочемо виконувати операції, іншими словами ми маємо скласти повний перелік елементів (прийнято називати множиною елементів), над якими ми можемо виконати операцію. Наприклад додавання ми будемо виконувати над усіма числами: $100, -1.3, \pi$. Операції з’єднання поворотів ми будемо виконувати над будь-якими поворотами кубика: R, U’… До переліку стільців візьмемо лише дерев’яні з зеленою, жовтою оббивкою.

По-друге, якщо ми до чогось додаємо щось, то було б добре отримати у результаті щось схоже. Неможливо щось рахувати, якщо $2 яблука + 3 яблука = дерево$, а $5 картошин * 6 = пюре$. Тому першим, що почали вимагати від операції — це була «замкненість». Тобто, якщо до елементу нашого списку ми додаємо інший елемент списку , то результатом теж має бути елемент нашого списку. Можна перевірити, що $2 + 3 = 5$, що 2,3 і 5 — це числа і всі вони належать до нашого списку чисел. Для поворотів кубика-Рубіка. Якщо до повороту R додати поворот U’, то ми отримаємо теж поворот RU’. Зі стільцями така властивість вже не виконується, бо стіл не належить до нашого переліку стільців із зеленою та жовтою оббивкою.

Третім ми перевіряємо, чи залежить результат від порядку виконання операцій. Наприклад чи однакові будуть результати $(2+3) + 5$ та $2 + (3 + 5)$. Така властивість називається асоціативність. Для звичних нам чисел вона очевидно виконується. Для поєднань поворотів кубика ця властивість теж виконається (R U’) R’ = R U’ R’ = R (U’ R’).

Стає гарячіше

А тепер найцікавіше, серед всіх елементів нашого переліку шукають особливий, який називають нейтральним. Наприклад для додавання чисел особливим буде 0, бо до якого б числа ми його не додавали все рівно результатом буде те число. $1 + 0 = 1$, $0 + 4 = 4$ і так далі. Для поворотів куби-Рубіка це буде відсутність повороту (E). Якщо спочатку повернути праву грань за годинниковою стрілкою (R) а потім не зробити нічого (E), то поєднавши ці операції ми отримаємо просто поворот грані (R).

Після того, як ми знайшли особливий елемент. Ми для кожного елементу нашого списку починаємо шукати братів (в математиці такі елементи називають оберненими). Братом елемента А називається такий елемент Б, що їхня сума дорівнює особливому елементові. $5 + (-5) = 0$. У п’ятірки елементом братом буде $-5$. А у $-5$ елементом братом буде $5$. Таким чином елемент брат є у кожного. Такі ж елементи брати є у кожного повороту кубика-Рубіка. Наприклад у RU’ братом буде UR’, бо RU’UR’ = E.

Якщо всі наведені умови виконуються, то обрана операція над обраними елементами є коректною. Множина таких елементів разом із операцією називається групою. В математиці — це дуже зручний інструмент. Для груп доведено багато властивостей, які виконуються для всіх груп. І якщо для довільної операції на довільній множині ми змогли утворити групу, то всі властивості теорії груп можна буде застосувати до нашої власної операції.

І що?

Так гарно побудувати групи виходить, на жаль, не для всіх переліків елементів. Навіть у звичайного множення є суттєва проблема. Множення чисел саме по собі не є групою. При множенні особливим елементом мала б стати одиниця $1$, оскільки $1 * 5 = 5$, а $4 * 1 = 4$. Було б дуже легко знаходити братів $5 * \frac{1}{5} = 1$. Але легко було б знайти братів у всіх чисел окрім $0$. Чому? А ви спробуєте 0 помножити на якесь число, щоб отримати одиницю. В мене теж не вийшло, тому множення чисел не буде групою.

Не могли ж математики залишити таке допустити? Для того, щоб такого неподобства не було були вигадані кільця та поля, де розглядають множення у парі із додаванням і серед всього іншого кажуть, що множення може утворити групу серед усього списку елементів, але за умови, що ми викреслимо із нього особливий елемент для додавання. Тобто, якщо ми заберемо із переліку чисел нуль, то всі ніші елементи зможуть утворити групу відносно множення. Все стає добре. З цим якось вже можна жити, але у $0$ все рівно немає брата відносно множення.

Руйнуємо стереотипи

Немає такої операції в математиці як ділення. Так само як і немає такої операції як віднімання. $2 – 5$ означає, що для 5 ми шукаємо брата відносно додавання і додаємо його до двійки. $2 – 5 = 2 + (-5)$. Так само і з діленням $4 \div 5$ спочатку ми шукаємо брата відносно множення для $5$, а це $\frac{1}{5}$ а потім множимо на нього $4 * \frac{1}{5}$. З нулем, як ви бачите, проблема полягає в тому, що він не має такого брата. Саме через це операція ділення не має сенсу.

Як ми бачимо 0 був на крок від того, щоб зіпсувати усю математику. Але сьогодні йому це зробити не вдалося. І тепер, коли буде спокуса ділити на 0, згадайте, що в нього немає брата його краще не чіпати. А ділити краще на 42. Число відоме і брата має.

P.S. Якщо ви змогли дочитати до кінця, то я можу вас привітати! Навіть, якщо ви нічого не зрозуміли це все рівно дуже хороший результат. Я думаю у Вас у будь-якому випадку залишились питання, на які я із задоволенням відповім у коментарях.